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Para professores

Raciocínio e resolução de problemas

A BNCC coloca o letramento matemático no centro da matemática do Ensino Fundamental: raciocinar, representar, comunicar e argumentar, e não só fazer contas. Muitas habilidades começam com “Resolver e elaborar problemas…”: no 1º ano, a EF01MA08 pede que a turma resolva e elabore problemas de adição e subtração; no 3º ano, a EF03MA07 faz o mesmo com a multiplicação. Raciocinar é explicar, justificar e descobrir regularidades: “Como você sabe?”. Resolver problemas é usar o que já se sabe numa situação nova.

Para isso não é preciso uma aula separada. O raciocínio nasce das perguntas que você faz todo dia e do hábito de explicar em voz alta. As ideias abaixo servem para qualquer tema e qualquer ano, da pré-escola ao 5º ano.

Um roteiro para as situações-problema

Muitos estudantes leem o problema correndo, pegam os números que aparecem e fazem a primeira conta que vem à cabeça. Um roteiro fixo, colado no caderno ou num cartaz da sala, ajuda a desacelerar:

1. Ler o problema inteiro, mais de uma vez se for preciso.
2. Entender a pergunta: o que o problema quer saber?
3. Separar os dados: o que já sabemos? Tem algum dado que não serve para nada?
4. Planejar: desenhar, montar com material, estimar, escolher a operação.
5. Resolver: fazer a conta, de cabeça ou armada.
6. Conferir: a resposta faz sentido? A prova real confirma?
7. Responder com uma frase completa.

Um exemplo do 3º ano: Laura tem R$ 20,00. Ela compra 3 picolés de R$ 5,00 cada um. Quanto vai receber de troco?

• Dados: tem R$ 20,00; compra 3 picolés; cada um custa R$ 5,00.
• Contas: 3 × 5 = 15 (o que ela gasta); 20 − 15 = 5 (o troco).
• Conferir: gasto mais troco tem que dar o que ela tinha: 15 + 5 = 20.
• Resposta: Laura vai receber R$ 5,00 de troco.

Peça sempre a frase completa, e não só “5”: escrever a resposta obriga a voltar à pergunta. E cuidado com as palavras-chave. “Gastou” parece pedir subtração, mas em “Enzo gastou R$ 5,00 na cantina e ficou com R$ 3,00. Quanto ele tinha antes?” a conta é 5 + 3 = 8. “Ganhou” parece pedir adição, mas em “Miguel ganhou 4 figurinhas e ficou com 12. Quantas ele tinha?” a conta é 12 − 4 = 8. Mais do que caçar palavras, vale pedir que a criança conte o problema do jeito dela ou faça um desenho.

Perguntas que fazem pensar

Deixe algumas destas num cartão preso ao crachá ou na parede da sala e use-as até virarem hábito, seu e da turma:

• O que você percebe? O que você gostaria de descobrir?
• O que é igual e o que é diferente?
• Como você sabe? Consegue provar?
• Tem outro jeito de fazer? Qual é mais rápido?
• E se…?
• Dê um exemplo. Agora, um que ninguém mais vai pensar.
• Isso é verdade sempre, às vezes ou nunca?
• Encontre o erro: onde esse estudante se enganou?
• A resposta faz sentido?

Me convença

Dê à turma um fato que todo mundo já sabe e peça que convençam você (ou um colega que faz o papel de desconfiado) de que ele é verdadeiro. “Porque eu sei” não vale: é preciso dar razões.

• 1º e 2º ano: me convença de que 7 + 8 = 15. O dobro de 7 é 14, e 8 é um a mais que 7, então o resultado é um a mais que 14.
• 4º ano: me convença de que 6 × 7 = 42. 5 × 7 = 35, e mais um 7 dá 42.
• 5º ano: me convença de que ⅗ é maior que ½. A metade de 5 quintos é 2 quintos e meio, e 3 quintos é mais do que isso.

Um desenho, o material dourado, as tampinhas ou a reta numérica também valem como prova. Muitas das melhores explicações são desenhos.

Verdadeiro ou falso? Sempre, às vezes ou nunca?

Escreva uma afirmação no quadro; cada estudante decide se é verdadeira ou falsa e explica por quê. Misture umas e outras para ninguém adivinhar pelo padrão.

A versão “sempre, às vezes ou nunca” rende ainda mais conversa, porque obriga a procurar exemplos e contraexemplos. No 5º ano, por exemplo: “multiplicando, o resultado fica maior que o número do começo” é verdade só às vezes (5 × 3 = 15, mas 5 × 1 = 5, 5 × 0 = 0 e 5 × 0,5 = 2,5). Mais duas:

• A soma de dois números ímpares é par. Sempre. Quando formamos pares, cada número ímpar deixa um sobrando; juntando os dois números, as duas sobras formam mais um par: 3 + 5 = 8.
• Um triângulo tem dois ângulos retos. Nunca. Tente desenhar: os lados que saem em ângulo reto das duas pontas da base ficam paralelos e nunca se encontram para fechar o triângulo.

Encontre o erro

Mostre uma conta resolvida com um erro e peça que a turma ache o erro, explique o que aconteceu e corrija. Isso intimida menos do que corrigir o próprio caderno e ajuda você a se antecipar aos erros que já sabe que vão aparecer.

• 2º e 3º ano: 52 − 27 = 35. Nas unidades, o estudante fez 7 − 2 em vez de 12 − 7. Com recurso: 2 menos 7 não dá, então pego emprestado 1 dezena do 5, que vira 4; 12 − 7 = 5 e 4 − 2 = 2. O resultado é 25. Prova real: 25 + 27 = 52.
• 4º ano: 450 arredondado para a centena mais próxima é 400. 450 está exatamente no meio entre 400 e 500, e nesse caso arredondamos para cima: 500.
• 4º ano: 824 ÷ 4 = 26. Na chave, depois do 8, veio o 2: “2 dividido por 4 não dá”, e faltou escrever o 0 no quociente antes de baixar o 4. O certo é 206. A prova real denuncia: 4 × 26 = 104, enquanto 4 × 206 = 824.
• 5º ano: 0,4 × 3 = 0,12. 4 décimos vezes 3 são 12 décimos, ou seja, 1,2.

Problemas abertos

Problemas com mais de uma resposta, ou com uma resposta só mas muitos caminhos, deixam todo mundo começar, e quem vai mais rápido sempre tem para onde avançar.

• Qualquer ano: a resposta é 12. Qual pode ser a pergunta? No 1º ano, alguém dirá 10 + 2; no 5º ano, 3 × 4, 48 ÷ 4 ou 25% de 48.
• 1º ano: de quantos jeitos dá para tirar 6 somando os pontos de dois dados? 1 + 5, 2 + 4 e 3 + 3, ou 5 jeitos se 5 + 1 e 4 + 2 contarem como diferentes. Discutir qual resposta vale já é raciocinar.
• 3º ano: na papelaria, paguei exatamente R$ 21,00 só com cédulas de R$ 2 e de R$ 5. Quais cédulas posso ter usado? Uma cédula de R$ 5 e oito de R$ 2, ou três de R$ 5 e três de R$ 2. O número de cédulas de R$ 5 tem que ser ímpar, porque 21 é ímpar e as cédulas de R$ 2 sempre somam um valor par.
• 5º ano: um retângulo tem 20 cm de perímetro, e os lados medem um número inteiro de centímetros. Qual pode ser a área? O comprimento e a largura somam 10 cm, então a área pode ser 9, 16, 21, 24 ou 25 cm². A maior é a do quadrado de 5 cm de lado, o que abre outro bom debate: quadrado é retângulo?

Os problemas de lógica e contagem, no estilo da OBMEP Mirim (a olimpíada de matemática dos anos iniciais, com o nível Mirim 1 para o 2º e o 3º ano e o Mirim 2 para o 4º e o 5º), também são ótimos para isso, participe a escola ou não. Dois para começar:

• 2º e 3º ano: na fila do recreio, Davi é o 7º contando da frente e o 5º contando de trás. Quantas crianças estão na fila? Há 6 crianças na frente dele e 4 atrás, mais o próprio Davi: 6 + 4 + 1 = 11. Quem faz 7 + 5 = 12 contou o Davi duas vezes, e um desenho da fila mostra isso na hora.
• 4º e 5º ano: Alice tem 3 camisetas (amarela, azul e verde) e 2 bermudas (preta e branca). De quantos jeitos diferentes ela pode se vestir? Cada camiseta combina com 2 bermudas: 3 × 2 = 6 jeitos. Uma tabela ou uma árvore de possibilidades ajuda a ter certeza de que nenhum ficou de fora.

Quando a turma elabora os problemas

Elaborar um problema exige entender a estrutura dele: o que se sabe, o que se pergunta e qual conta liga uma coisa à outra. Algumas propostas:

• Da conta para a história: escreva 3 × 5 = 15 no quadro e peça uma história que se resolva com essa conta. Depois, a turma confere: em qual história a conta é mesmo 3 × 5?
• Do cardápio para o problema: mostre o cardápio da cantina (pão de queijo R$ 3,00, suco R$ 4,00, picolé R$ 5,00) e peça um problema com troco. Por exemplo: “Comprei 2 pães de queijo e 1 suco e paguei com uma cédula de R$ 20. Quanto recebi de troco?” (2 × 3 = 6; 6 + 4 = 10; 20 − 10 = 10: R$ 10,00 de troco.)
• Problema sem pergunta: conte só a história (“Na festa junina, a barraca da pescaria vendeu 36 fichas de manhã e 48 à tarde”) e peça que a turma invente perguntas. Quais dá para responder com os dados? Depois, as duplas trocam e resolvem os problemas umas das outras.

O modelo de barras

O modelo de barras, usado em algumas escolas e que vem do chamado método de Singapura, representa o problema com retângulos. Ele ajuda a ver o que se sabe e o que se procura antes de escolher a operação. Os menores começam com a ideia de parte-todo: “Na turma do 2º ano há 23 estudantes, e 14 trouxeram lanche de casa. Quantos vão comer a merenda?” O todo é 23, uma parte é 14, então a outra parte é 23 − 14 = 9.

O modelo de barras também funciona com frações. Um desafio para o 5º ano (o cálculo da fração de uma quantidade ganha força no 6º ano, mas a barra deixa o problema ao alcance de muitas turmas): “Valentina gastou ⅖ da mesada e ficou com R$ 18,00. Quanto ela tinha?” Desenhe uma barra em 5 partes iguais e marque 2 como gastas. As 3 partes que sobraram valem R$ 18,00, então cada parte vale R$ 6,00, e a barra inteira vale 5 × 6 = 30: ela tinha R$ 30,00. Conferindo: ⅖ de R$ 30,00 são R$ 12,00, e 30 − 12 = 18.

Frases para explicar como pensou

Muitos estudantes sabem a resposta, mas não sabem dizer por quê. Começos de frase dão as palavras: use-os você primeiro, deixe-os à vista e peça respostas com frases completas.

• Eu sei que…, então…
• Primeiro eu…, depois…, então a resposta é…
• Não pode ser… porque…
• Concordo com o colega (ou discordo dele) porque…
• Isso é verdade sempre / às vezes / nunca porque…
• Minha resposta faz sentido porque está perto da minha estimativa, que era…

Combine com a conversa em dupla: cada um explica primeiro para o colega do lado e só depois alguém responde para a turma toda.

Respostas rápidas

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