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Guia do tema
Álgebra e proporcionalidade
A álgebra é a parte da matemática em que existe um número escondido. Nos anos iniciais, ele aparece como um quadradinho para completar, 7 + □ = 10, e só nos anos finais, a partir do 6º e do 7º ano, o quadradinho vira uma letra. A álgebra também é perceber padrões e regularidades, descobrir a regra de uma sequência e entender o que o sinal de igual quer dizer. A proporcionalidade trata de quantidades que crescem ou diminuem juntas, no mesmo ritmo: o preço quando você compra mais pães de queijo, uma receita para mais gente, a escala de um mapa.
Muitos pais se espantam ao ver “Álgebra” no livro do 1º ano. É que a BNCC organiza a matemática em cinco unidades temáticas (Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas, Probabilidade e estatística), e a Álgebra está em todos os anos, desde o 1º. Mas ali não há letras: há sequências, padrões e a ideia de igualdade. A proporcionalidade direta aparece com esse nome no 5º ano, depois de anos de dobro, metade e triplo. Desde 2022 a BNCC também tem um complemento sobre Computação, e o chamado pensamento computacional conversa muito com a álgebra: achar padrões e seguir ou criar instruções passo a passo.
O que se aprende em cada ano
A tabela segue a BNCC, que define as habilidades de matemática ano a ano. O currículo do seu estado ou município e o livro didático podem mudar um pouco a ordem dos assuntos: depende da rede e da escola.
| Ano | O que as crianças aprendem |
|---|---|
| Pré-escola | Copiar, continuar e inventar sequências (vermelho, azul, vermelho, azul…) com blocos, contas e desenhos. Separar objetos por cor, forma e tamanho. Dizer o que vem antes, depois e entre numa sequência. |
| 1º ano | Organizar e ordenar objetos por características. Descrever o padrão de uma sequência de números, figuras ou objetos e descobrir o elemento que falta: 2, 4, 6, □, 10 (EF01MA09 e EF01MA10). |
| 2º ano | Montar sequências a partir de qualquer número, seguindo uma regra, para a frente e para trás: 5, 10, 15, 20 ou 30, 27, 24, 21. Descrever o padrão de sequências que se repetem ou que crescem e completar os elementos que faltam (EF02MA09 a EF02MA11). |
| 3º ano | Sequências em que se soma ou se subtrai sempre o mesmo número, e descobrir a regra (EF03MA10). A ideia de igualdade: contas diferentes com o mesmo resultado, como 6 + 4 = 7 + 3 = 12 − 2 (EF03MA11). |
| 4º ano | Sequências de múltiplos e grupos de números que deixam o mesmo resto numa divisão. As operações inversas, também com a calculadora. Uma igualdade continua verdadeira quando se soma ou se subtrai o mesmo número nos dois lados. O número desconhecido numa igualdade, com as quatro operações: 3 × □ = 24 (EF04MA11 a EF04MA15). |
| 5º ano | A igualdade continua verdadeira também quando os dois lados são multiplicados ou divididos pelo mesmo número. Problemas escritos como uma igualdade com um termo desconhecido. A proporcionalidade direta: preço e quantidade, receitas, escalas de mapas. Dividir uma quantidade em duas partes desiguais, uma o dobro da outra (EF05MA10 a EF05MA13). |
As grandes ideias
1. O sinal de igual quer dizer “vale o mesmo que”
Muitas crianças leem o = como “e o resultado é”. Isso funciona em 3 + 5 = 8, mas não funciona em 8 = 3 + 5 ou em 6 + □ = 4 + 5. Pense numa balança de pratos: os dois lados precisam pesar o mesmo. 4 + 5 dá 9, então 6 + □ também tem que dar 9, e o número que falta é 3.
A balança explica também o que a BNCC pede no 4º ano: se você coloca o mesmo peso nos dois pratos, ela continua equilibrada. Em 8 + 2 = 6 + 4, somando 3 nos dois lados, fica 13 = 13. No 5º ano, a regra vale também para multiplicar e dividir: em 3 × 4 = 6 × 2, multiplicando os dois lados por 2, fica 24 = 24. É essa ideia de equivalência que, mais tarde, vai sustentar as equações.
2. Desfazer com a operação inversa
A adição e a subtração são operações inversas: uma desfaz o que a outra faz. A multiplicação e a divisão também. É a mesma ideia da prova real que a criança usa para conferir as contas, e é a chave de quase todo problema com quadradinho. Em □ − 9 = 7, pergunte: “de que número eu tiro 9 e sobram 7?”, e devolva o 9 que foi tirado: 7 + 9 = 16. Em 3 × □ = 24, divida: 24 ÷ 3 = 8. Depois, confira colocando o número no quadradinho: 16 − 9 = 7 e 3 × 8 = 24.
3. As sequências seguem uma regra
Uma sequência é uma lista de números, cores ou figuras que segue uma regra. Os pequenos continuam sequências e contam de 2 em 2 ou de 5 em 5; os maiores descobrem a regra, explicam com palavras e preveem o que vem mais adiante. Na sequência acima há uma surpresa que o 4º ano investiga: dividindo 7, 11, 15 e 19 por 4, o resto é sempre 3 (11 = 4 × 2 + 3, por exemplo). Os mais curiosos podem ir além e achar uma regra que leva direto a qualquer posição: cada número é 4 vezes a sua posição, menos 1 (o 1º é 4 × 1 − 1 = 3; o 2º, 4 × 2 − 1 = 7). Então o 10º número da sequência é 4 × 10 − 1 = 39.
4. O número desconhecido: primeiro um quadradinho, depois uma letra
No 5º ano, a criança aprende a transformar um problema numa igualdade com um termo desconhecido. “Comprei 3 cadernos iguais e paguei R$ 45,00. Quanto custou cada um?” vira 3 × □ = 45, e a operação inversa resolve: 45 ÷ 3 = 15, então cada caderno custou R$ 15,00. A BNCC também pede que a criança elabore problemas: dada a igualdade □ + 12 = 30, que história combina com ela?
No 6º e no 7º ano, o quadradinho dá lugar a uma letra, quase sempre o x: 3 × x = 45. É a mesma ideia com outra roupa, e quem entendeu o quadradinho chega lá com muito mais tranquilidade.
Leia o sinal de igual em voz alta como “vale o mesmo que” e, de vez em quando, escreva as contas “ao contrário”: 10 = 4 + □. A criança que só vê o resultado do lado direito costuma empacar na primeira vez que ele muda de lugar, e depois esse hábito dá trabalho para desfazer.
5. Dividir em partes desiguais
Miguel e a irmã, Helena, vão dividir 18 figurinhas repetidas, e Helena, que juntou mais, fica com o dobro. Muitas crianças dividem por 2 porque “são duas pessoas”, mas o desenho mostra outra coisa: Miguel tem 1 parte, Helena tem 2, e são 3 partes iguais ao todo. Cada parte tem 18 ÷ 3 = 6 figurinhas, então Miguel fica com 6 e Helena com 12. Prova real: 6 + 12 = 18, e 12 é mesmo o dobro de 6. Esse desenho, o modelo de barras, já é usado em algumas escolas. A BNCC liga esse problema à ideia de razão: Helena recebe 2 figurinhas para cada 1 de Miguel, e a parte de Miguel é ⅓ do total.
6. Proporcionalidade direta: dobrou um, dobra o outro
Duas quantidades são diretamente proporcionais quando, se uma dobra, a outra também dobra; se uma triplica, a outra também, e assim por diante. Se um pão de queijo custa R$ 2,50, dois custam R$ 5,00 e cinco custam R$ 12,50. Numa tabela, para passar da linha de cima para a de baixo, multiplica-se sempre pelo mesmo número.
Quando o problema não diz o preço de uma unidade, um bom caminho é descobrir esse preço primeiro. Se 4 pães de queijo custam R$ 10,00, um custa R$ 10,00 ÷ 4 = R$ 2,50, e 6 custam 6 × R$ 2,50 = R$ 15,00. A regra de três, que resolve esses problemas de um jeito mais mecânico, fica para os anos finais.
Saber reconhecer o que não é proporcional faz parte do mesmo aprendizado. Uma criança que mede 1,15 m aos 6 anos não vai medir 2,30 m aos 12. E na promoção “leve 3, pague 2”, três pacotes de biscoito não custam o triplo de um, e sim o dobro.
7. Ampliar e reduzir: receitas, malhas e mapas
Para aumentar ou diminuir alguma coisa sem deformá-la, tudo é multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número. Uma festa de aniversário é a desculpa perfeita para treinar:
| Brigadeiro | Receita (cerca de 20) | Dobro (cerca de 40) | Triplo (cerca de 60) |
|---|---|---|---|
| Leite condensado | 1 lata | 2 latas | 3 latas |
| Manteiga | 1 colher de sopa | 2 colheres de sopa | 3 colheres de sopa |
| Chocolate em pó | 2 colheres de sopa | 4 colheres de sopa | 6 colheres de sopa |
E para transformar uma receita de 4 pessoas numa de 6? Passe primeiro pela receita de 2 pessoas (divida tudo por 2) e depois multiplique por 3: 200 g de farinha viram 100 g e depois 300 g; 2 ovos viram 1 e depois 3.
Na malha quadriculada, um retângulo de 2 por 5 quadradinhos ampliado 3 vezes fica com 6 por 15: todos os lados foram multiplicados por 3. Repare que a área não fica 3 vezes maior, e sim 9 vezes: de 10 para 90 quadradinhos. As escalas de plantas e mapas funcionam do mesmo jeito. Numa planta baixa em que 1 cm representa 1 m de verdade, um quarto desenhado com 4 cm por 3 cm mede 4 m por 3 m. Num mapa em que 1 cm representa 5 km, duas cidades a 6 cm de distância no papel ficam a 30 km uma da outra.
Erros comuns para ficar de olho
- Ler o = como “o resultado é”: em 4 + 5 = □ + 2, escrever 9 no quadradinho em vez de 7.
- Desfazer com a operação errada: em □ − 9 = 7, calcular 9 − 7 = 2 em vez de 7 + 9 = 16.
- Dividir por 2 numa partilha desigual: com 18 figurinhas e uma parte o dobro da outra, são 3 partes iguais (1 + 2), não 2. A resposta é 6 e 12, não 9 e 9.
- Somar em vez de multiplicar ao ampliar: passar uma receita de 4 para 6 pessoas acrescentando 2 de cada ingrediente.
- Achar que tudo é proporcional: se uma camiseta leva 2 horas para secar no varal, três camisetas penduradas juntas não levam 6 horas.
- Adivinhar a regra de uma sequência olhando só os dois primeiros números: depois de 2, 4 pode vir 6 (somando 2) ou 8 (dobrando). É preciso conferir se a regra vale para a sequência inteira.
Jogos de cinco minutos para fazer em casa
- Embaixo do copo. Coloque 10 tampinhas ou feijões na mesa, esconda alguns embaixo de um copo e pergunte quantos estão escondidos. “Estou vendo 6, então tem 4 embaixo do copo.”
- Pensei num número. “Pensei num número, somei 5 e deu 12. Que número eu pensei?” Depois troquem de papel e deixe seu filho inventar os desafios.
- Máquina de números. A criança diz um número; você, em segredo, calcula o dobro, soma 1 e fala o resultado: o 3 vira 7, o 5 vira 11. Quem descobre a regra primeiro?
- Colar de macarrão. Pintem macarrão e façam um colar com uma sequência que se repete, depois com uma que cresce (1 vermelho, 2 azuis, 3 vermelhos…). O que vem depois? Quantas peças o próximo grupo vai ter?
- Suco na medida. Se o rótulo do suco concentrado diz 1 parte de suco para 4 de água, quanto suco vai numa jarra de 1 litro? (São 5 partes de 200 mL: 200 mL de suco e 800 mL de água.) E quando forem fazer brigadeiro, dobrem a receita juntos.
O desafio da IndieA abelha Indie monta uma fileira de alvéolos de favo com palitos de picolé. Alvéolos vizinhos dividem um lado. Para 1 alvéolo ela usa 6 palitos, para 2 usa 11 e para 3, 16. De quantos palitos ela precisa para uma fileira de 10 alvéolos? Ver a resposta
O primeiro alvéolo precisa de 6 palitos. Cada alvéolo novo divide um lado com o anterior, então só precisa de mais 5. Para 10 alvéolos: 6 + 9 × 5 = 6 + 45 = 51 palitos. Como regra: palitos = 5 × número de alvéolos + 1, e 5 × 10 + 1 = 51. Repare que essa situação não é proporcional: 2 alvéolos não precisam do dobro dos palitos de 1 alvéolo (seriam 12), e sim de 11.
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Descubra o número que falta4º ano, 5º ano · Qual número está escondido no quadradinho?Baixar PDFRespostas rápidas
Porque a BNCC coloca a Álgebra como uma das cinco unidades temáticas da matemática em todos os anos. No 1º ano ela não tem letras: é perceber padrões, completar sequências como 2, 4, 6, □, 10 e começar a entender a igualdade. É a base do raciocínio que vai virar equação lá na frente.
Nos anos finais, a partir do 6º e do 7º ano. Até o 5º ano, o número desconhecido aparece como um quadradinho ou um espaço para completar, como em 3 × □ = 24.
Faça o teste do dobro: se uma quantidade dobra e a outra também dobra (e o mesmo vale para o triplo, o quádruplo…), a situação é proporcional. O preço de vários pães de queijo iguais é; a altura e a idade de uma pessoa, não.
Pela BNCC, não. No 5º ano a criança resolve problemas de proporcionalidade com raciocínio próprio: descobre quanto custa uma unidade, dobra, triplica. A regra de três costuma chegar nos anos finais, e quem já entendeu a ideia aprende o método com mais segurança.
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